\xiti

\begin{xiaotis}

\xiaoti{用数学归纳法证明：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$；}

    \xiaoxiaoti{$1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \dfrac{1}{3} n(4n^2 - 1)$；}

    \xiaoxiaoti{$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + n(3n+1) = n(n+1)^2$；}

    \xiaoxiaoti{$\dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{n}{2n+1}$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{用数学归纳法证明等差数列、等比数列前 $n$ 项和的公式。}

\xiaoti{用数学归纳法证明：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$x^n + y^n$ ($n$是正奇数) 能被 $x+y$ 整除；}

    \xiaoxiaoti{$n^3 + 5n \; (n \in N)$ 能被 $6$ 整除；}

    \xiaoxiaoti{$3^{4n+2} + 5^{2n+1} \; (n \in N)$ 能被 $14$ 整除；}

    \xiaoxiaoti{三个连续自然数的立方和能被 $9$ 整除。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{证明凸 $n$ 边形的对角线的条数
    $$ f(n) = \dfrac{1}{2} n(n-3) \quad (n \geqslant 3) \text{。}$$
}


\xiaoti{用数学归纳法证明：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{如果 $\sin\alpha \neq 0$，那么
        $$ \cos\alpha \cdot \cos2\alpha \cdot \cos2^2\alpha \cdots \cos2^{n-1}\alpha = \dfrac{\sin2^n \alpha}{2^n \sin\alpha} \text{。} $$
    }

    \xiaoxiaoti{如果 $\sin\alpha \neq 0$，那么
        $$ \cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha + \cdots + \cos(2n-1)\alpha = \dfrac{\sin2n\alpha}{2\sin\alpha} \text{。} $$
    }

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

